量子振幅放大与估计

考虑一个布尔函数$\chi: X \to \{0,1\}$，它将集合$X$划分为好元素与坏元素，其中若$\chi(x)=1$则$x$为好，否则为坏。再考虑一个量子算法$\mathcal A$，使得$A |0\rangle= \sum_{x\in X} \alpha_x |x\rangle$是$X$各元素的量子叠加，并令$a$表示若测量$A |0\rangle$产生好元素的概率。如果我们重复运行$A$、测量输出、并使用$\chi$检验结果的 validity 这一过程，则平均预期在找到解之前重复$1/a$次。*振幅放大*(amplitude amplification)是一个过程，允许在期望应用$A$及其逆的次数正比于$1/\sqrt{a}$后找到一个好$x$，假设算法$A$不作测量。这是格罗夫搜索算法(Grover's searching algorithm)的推广，其中$A$被限制为产生$X$所有成员的等权重叠加，且我们承诺存在单一$x$使得$\chi(x)=1$。我们的算法无论$a$的值是否预先已知都有效。若$a$的值已知，我们甚至能在最坏情况下于应用$A$及其逆的次数正比于$1/\sqrt{a}$后找到一个好$x$。我们展示了这种二次加速也可用于一大类存在好经典启发式的搜索问题。最后，作为我们的主要结果，我们结合格罗夫与肖尔量子算法的思想来执行振幅估计，这一过程允许估计$a$的值。我们将振幅估计应用于*近似计数*(approximate counting)问题，即希望估计$X$中满足$\chi(x)=1$的$x$的数目。我们在多种设定下获得了最优量子算法。