函数生成数据的量化 CP 近似与稀疏张量插值

本文研究了用于计算实轴区间上大型均匀网格离散化函数生成的量化数据的规范（CP）近似的迭代格式。本文延续了对 QTT 方法 [16] 的研究，该方法专为函数相关数据的量化图像的张量列车（TT）近似而开发。在 QTT 方法中，长度为 $2^{L}$ 的目标向量被重塑为每个模式有两个元素的 $L$ 阶张量（量化表示），然后由包含 $2r^2 L$ 个参数的 QTT 张量进行近似，其中 $r$ 是最大 TT 秩。接下来，我们考虑使用交替最小二乘法（ALS）迭代格式来计算量化向量的秩 -$r$ CP 近似，该格式仅需 $2 r L\ll 2^L$ 个参数进行存储。在早期论文 [17] 中，这种表示被称为 Q$_{Can}$ 格式，而在本文中我们将其简称为 QCP 表示。我们测试了 ALS 算法以计算各种函数的 QCP 近似，在所有情况下均观察到 QCP 秩中的指数级误差衰减。本文提出了利用减少数量的函数样本（仅在 $O(2rL)$ 个网格点计算）以秩 -$r$ QCP 格式恢复离散化函数的主要思想。描述了用于解决由此产生的最小化问题的 ALS 格式的特殊版本。这种方法可视为稀疏 QCP 插值法，能够恢复秩 -$r$ QCP 张量的所有 $2r L$ 个表示参数。数值算例展示了 QCP-ALS 型迭代的有效性，并表明了在 $r$ 上的指数收敛率。