Sturm-Liouville 算子逆谱问题的定量理论及其应用

一个有趣的逆优化谱问题，涉及从有限个观测特征值中重构势函数 $\hat{q}$，使得 $\hat{q}$ 对目标势函数 $q_0$ 实现最佳近似。此问题在结构健康监测与损伤检测、材料设计、地震波分析、声纳探测等领域具有重要应用。以往的研究局限于定性分析，而定量对应的开放问题仍待解决。本文通过相平面分析（平面动力系统方法）引入定量框架来求解逆谱问题。我们对重构势函数 $\hat{q}$、目标势函数 $q_0$ 与观测特征值 $\lambda_*$ 之间的关系进行了定量表征。值得注意的是，对于 ${q} \in \mathcal{L}^2$，我们的分析得出了关于重构势函数 $\hat{q}$ 的精确解析表达式。换言之，我们的框架在 $\mathcal{L}^2$ 情形下完全解决了优化逆谱问题。此外，我们证明了 $\hat{q}$ 对任意 $q_0, \lambda_*\in \mathbb R$ 的唯一性，这一关键进展消除了将 $\lambda_*$ 与 $q_0$ 联系起来的传统约束。另一个发现是构建了同胚映射，揭示了第 $m$ 个特征值对应的误差 $\|\hat{q} - q_0\|_{\mathcal L^p}$ 与主特征值之间的扩张关系。本文总结了主要结果，并附上工程和数学物理领域的实际应用。