神经编码图的性质

一个在 $n$ 个神经元上的神经编码是集合 $[n]=\{1,2,\dots,n\}$ 的子集族。本文研究了神经编码图的一些性质。特别地，我们研究了Chan等人（SIAM J. on Dis. Math., 37(1):114-145, 2017）给出的码字包含图（CCG）和Gross等人（Adv. in App. Math., 95:65-95, 2018）给出的一般关系图（GRG）。我们提供了CCG连通的一个充分条件。我们还证明了CCG的连通性和完全性在A. Jeffs（SIAM J. on App. Alg. and Geo., 4(1):99-122, 2020）定义的神经编码之间的满射态射下得以保持。进一步，我们证明如果任一神经编码 $\mathcal{C}$ 的CCG是完全的且 $|\mathcal{C}|=m$，则作为神经编码有 $\mathcal{C} \cong \{\emptyset,1,12,\dots,123\cdots m\}$。我们还证明了CCG完全的编码是开凸的。随后，我们证明如果一个满足 $|\mathcal{C}|>3$ 的编码 $\mathcal{C}$ 的CCG是连通的2-正则图，则 $|\mathcal{C}|$ 是偶数。GRG最初仅针对度为二的神经编码，利用其神经理想的标准型来定义。我们首先为任意神经编码定义了GRG。然后，我们展示了GRG在各种基本编码映射下的行为。最后，我们针对某些编码类比较了这两种图并考察了它们的性质。