余自由笛卡尔微分范畴的性质与刻画

笛卡尔微分范畴配备了一个微分算子，将多元微积分中的全导数形式化。余自由笛卡尔微分范畴在指定基范畴上总是存在的，其一般构造基于 Faà di Bruno 公式。一个自然的问题是，当给定一个任意的笛卡尔微分范畴时，如何在不知基范畴的情况下判断它是否为余自由的？本文给出了不指定基范畴的余自由笛卡尔微分范畴的刻画。这些刻画的关键出乎意料地在于导数为零的映射，我们称之为微分常数。一种刻画是齐次集为完备超度量空间，其中超度量由微分常数诱导，类似于幂级数的度量。另一种刻画是作为单子的代数。在两种刻画中，基范畴都是微分常数范畴。我们还讨论了余自由笛卡尔微分范畴的其他基本性质，如线性映射，并说明了许多著名的笛卡尔微分范畴（如多项式或光滑函数）不是余自由的。