用于泰勒级数收敛的笛卡尔微分范畴的超度量

笛卡尔微分范畴为多元微分学提供了一个范畴框架，同时也是微分λ-演算的范畴语义。泰勒级数展开是微分学和微分λ-演算的一个重要概念。在微分学中，如果一个函数的泰勒多项式序列在解析意义上收敛到该函数，则该函数等于其泰勒级数。另一方面，对于微分λ-演算，我们在具有适当代数无穷和概念的环境中工作，以形式化泰勒级数展开。在本文中，我们提供了一个在任意笛卡尔微分范畴中泰勒级数的形式理论，无需收敛极限或无穷和。我们首先发展了笛卡尔微分范畴中映射的泰勒多项式的概念，然后展示了比较映射的泰勒多项式如何在同态集上诱导出一个超伪度量。如果一个笛卡尔微分范畴中的映射完全由其泰勒多项式决定，我们称其为泰勒范畴。本文的主要结果是，在泰勒笛卡尔微分范畴中，诱导的超伪度量是超度量，并且对于每个映射f，其泰勒级数在该超度量下收敛到f。该框架通过解析方法重新捕捉了微分学中的泰勒级数展开，以及通过无穷和重新捕捉了微分λ-演算（或微分线性逻辑）的范畴模型中的泰勒级数展开。