大设计集的概率存在

最近，Kuperberg、Lovett 和 Peled (STOC 2012) 引入了一种用于确立某些正则组合结构存在性的概率技术。利用该技术，可以证明在某些条件下，随机选取的结构以极小但为正的概率具有 $t$-$(n,k,\lambda)$ 组合设计所需的属性。我们对 KLP 的证明方法进行了改造，以如下方式证明大设计集及类似组合结构的存在性。我们修改了随机选择与分析，表明在相同条件下，不仅存在 $t$-$(n,k,\lambda)$ 设计，而且事实上以正概率存在这样设计的一个大集——即把 $[n]$ 的 $k$-子集集合划分为 $t$-$(n,k,\lambda)$ 设计。具体而言，利用本文导出的概率方法，我们证明了对于所有足够大的 $n$，只要 $k > 12t$ 且满足必要的可除性条件，就存在 $t$-$(n,k,\lambda)$ 设计的大集。这解决了所有 $k > 12t$ 时大设计集的存在性猜想。