相对计数数据的幂变换作为一种收缩问题

本文展示了我们近期提出的信息几何方法在组合数据分析（CoDA）中的一个应用。该应用涉及相对计数数据，例如由测序实验获得的数据。首先，我们较详细地回顾了一系列必要概念，从基本计数分布及其信息几何描述，到贝叶斯统计与收缩之间的联系，再到CoDA中幂变换的使用。然后我们表明，幂运算（即单纯形上的标量乘法等价操作）可理解为单纯形切空间上的一种收缩问题。在信息几何术语中，传统收缩对应于沿混合（或m-）测地线的优化，而幂运算（或如我们所称的指数收缩）可沿指数（或e-）测地线优化。m-测地线对应于使用共轭先验的多项式计数的后验均值，而e-测地线对应于后验的一种替代参数化，其中先验与数据贡献由几何平均而非算术平均加权。为优化指数收缩参数，我们在切空间上使用均方误差作为代价函数。这正是真实参数的期望平方Aitchison距离。我们基于delta方法推导了其最小值的一个解析解，并通过仿真进行了检验。我们还讨论了指数收缩作为零值插补替代方案的降维与数据归一化作用。