模形式傅里叶系数的幂剩余
数论
2007-05-23 v2
摘要
设 r : G_Q -> GL_n Q_l 为一个动理的 l-进 Galois 表示。对固定的 m > 1，我们着手研究满足如下条件的素数 p 所构成集合的密度：在 r 下 p 处的算术 Frobenius 像的迹模 p 是一个 m 次幂剩余。基于与模形式的数值研究，我们（与 Ramakrishna 一起）猜想：只要 r 的像是开集，该密度便等于 1/m。我们进一步猜想：对此类 r，这些素数 p 的集合独立于任何由 Cebatorev 型 Galois 理论条件（在适当意义下）所定义的集合。随后，我们在具有有理傅里叶系数的 CM 型模形式的互补情形中，对某些 m 计算了这些密度；我们的证明结合了 Cebatorev 密度定理（在 CM 情形确实适用）以及应用于 Hecke 特征的互反律。我们还讨论了（由 Ramakrishna 提出的）一个潜在应用：计算虚二次域的阿贝尔扩张中在 p 外非分歧处在 p 处的惯性次数。
引用
@article{arxiv.math/0309475,
title = {Power residues of Fourier coefficients of modular forms},
author = {Tom Weston},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0309475},
year = {2007}
}
备注
Expanded to include applications to abelian extensions of imaginary quadratic fields. Several incorrect statements also eliminated