实赋范代数中的多项式与映射度

设 $\cal{A}$ 为四元数 $\mathbb{H}$ 或八元数 $\mathbb{O}$ 的代数。本手稿基于 Cauchy 与 D' Alembert 的思想，给出了一个普通多项式 $f(t) \in {\cal{A}}\, [t]$ 在 $\cal{A}$ 中有根这一事实的新证明。作为推论，Jacobian 行列式 $|J(f)|$ 在 $\cal{A}$ 中恒非负。此外，利用拓扑度的思想，我们证明 $\cal{A}$ 上的正则多项式 $g(t)$ 在 $\cal{A}$ 中亦有一根。最后，利用 $\cal{A}$ 中的乘法 $(*)$，我们证明了关于映射乘积拓扑度的若干结果。特别地，若 $S$ 为 $\cal{A}$ 中的单位球面且 $h_1, h_2: S \to S$ 为光滑映射，则证明 $\hbox{deg} (h_1 * h_2)=\hbox{deg} (h_1) + \hbox{deg} (h_2)$。