射影光滑完全交的周期矩阵及其形变的多项式实现

设 $X$ 为 $\mathbb{C}$ 上射影空间 $\mathbf{P}^n_{\mathbb{C}}$ 中维数为 $n-k$ 的光滑完全交，其中 $n$ 和 $k$ 为给定正整数。对给定整同调圈 $[\gamma] \in H_{n-k}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z})$，周期积分定义为从 de Rham 上同调群到 $\mathbb{C}$ 的线性映射 $[\omega] \mapsto \int_\gamma \omega$。本文的目标是将此周期积分解释为从含 $n+k+1$ 个变量的多项式环到 $\mathbb{C}$ 的线性映射，并利用该解释建立 $X$ 的周期积分形变理论。周期矩阵是由有理 de Rham 上同调的周期积分定义的不变式，它比较了 $\mathbb{C}$ 上 de Rham 上同调与系数在 $\mathbb{C}$ 中的奇异同调的有理结构（$\mathbb{Q}$-子空间结构）。作为主要结果，当 $X'$ 为从 $X$ 形变而来的另一射影光滑完全交簇时，我们给出 $X'$ 的周期矩阵用 $X$ 的周期矩阵及在形变数据处取值的 Bell 多项式表示的显式公式。我们的结果可视为基于 dgla（微分分次李代数）的 Maurer-Cartan 方程对周期积分的现形变理论处理。