低于 2/3 的近似良支撑纳什均衡需要对数多项式支撑

在$\epsilon$-近似纳什均衡中，玩家通过单方面偏离所能获得的期望收益最多为$\epsilon$。$\epsilon$-良支撑近似纳什均衡具有更强的要求，即每一个以正概率使用的纯策略，其收益必须在最佳响应收益的$\epsilon$范围内。Daskalakis、Mehta 和 Papadimitriou 猜想每个输赢双矩阵博弈都存在一个支撑基数至多为三的 2/3-良支撑纳什均衡。事实上，他们表明在一个图论猜想正确的前提下，此类均衡将存在。无论该猜想正确与否，我们证明了 2/3 收益保证的壁垒无法通过常数大小的支撑来突破；我们构造了输赢博弈，表明在任何$\epsilon < 2/3$的$\epsilon$-良支撑均衡中，都需要基数至少为 Omega((log n)^(1/3)) 的支撑。证明该构造有效性的关键工具是对著名的 Caccetta-Haggkvist 猜想的二分有向图变体的证明。概率论证表明，对于任意$\epsilon > 0$，存在支撑基数为 O(log n/(epsilon^2)) 的$\epsilon$-良支撑均衡；因此，所提出的对数多项式基数界限无法大幅改进。我们还表明，对于任意$\delta > 0$，都存在输赢博弈，其中没有任何一对支撑大小至多为二的策略构成 (1-$\delta$)-良支撑纳什均衡。相比之下，每个收益在 [0,1] 区间内的双矩阵博弈都存在一个 1/2-近似纳什均衡，其中玩家的支撑基数至多为二。