用于聚类的多对数空间草图

给定 $\ell_p^d$ 空间中的 $n$ 个点，我们考虑将这些点划分为 $k$ 个簇并关联中心的问题。聚类的代价是各点到其簇中心距离的 $p$ 次幂之和。对于 $p \in [1,2]$，我们设计了大小为 poly$(\log(nd),k,1/\epsilon)$ 的草图，使得最优聚类的代价可以在 $1+\epsilon$ 因子内被估计，尽管压缩表示不包含足够的信息来恢复簇中心或簇的划分。这催生了一种用于估计聚类代价的流式算法，其空间复杂度为 poly$(\log(nd),k,1/\epsilon)$。我们还获得了一种分布式内存算法，其中 $n$ 个点被任意划分到 $m$ 台机器上，每台机器向一个中心节点发送信息，然后由该节点计算聚类代价的近似值。在此工作之前，对于 $p \in [1,2)$，尚无已知的流式或分布式内存算法对 $d$ 具有次线性依赖。