极性 Cremona 变换与多项式的单值性

考虑与任意非常数齐次多项式 $f\in \C[x_0,...,x_n]$（次数为 $d$）相关的梯度映射，定义为 $$\phi_f=grad(f): D(f)\to \CP^n, (x_0:...:x_n)\to (f_0(x):...:f_n(x))$$，其中 $D(f)=\{x\in \CP^n; f(x)\neq 0\}$ 是与 $f$ 相关的主开集，且 $f_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$。该映射对应于极性 Cremona 变换。在命题 \ref{p1} 中，我们在射影超曲面 $V:f=0$ 仅具有孤立奇点的假设下，给出了 $\phi_f$ 的次数 $d(f)$ 的一个新的下界。当 $d(f)=1$ 时，定理 \ref{t4} 对 $V$ 的奇点给出了非常强的条件。