光滑代数簇上一维叶理的不变除子的庞加莱问题

本文考虑在光滑代数簇 $X$ 上，由无有理首积分的全纯叶理 $\F$ 所不变除子 $D$ 的次数，用 $\F$ 的次数以及 $D$ 和 $X$ 的一些不变量来界定其次数的问题。特别地，若 $\F$ 是 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ 上次数为 $d$ 的叶理，且其不变曲线的数量大于 ${k+2\choose k}$，我们证明存在一个数 $\mathcal{M}(d,k)$，使得若 $k>\mathcal{M}(d,k)$，则 $\F$ 具有次数 $\leq k$ 的有理首积分。此外，存在一个数 $\mathscr{G}(d,k)$，使得若 $\F$ 有一个次数为 $k$ 且亏格小于 $\mathscr{G}(d,k)$ 的代数解，则它有一个次数 $\leq k$ 的有理首积分。