所有维度的柏拉图贝尔不等式

本文研究了所有可能维度下的柏拉图贝尔(Bell)不等式。三维中有五种柏拉图立体，但在四维及更高维度中也存在具有柏拉图性质（亦称正多面体）的立体。三维欧几里得空间中柏拉图贝尔不等式的概念由 Tavakoli 与 Gisin [Quantum 4, 293 (2020)] 引入。对于任意三维柏拉图立体，都关联一种投影测量的排布，其中测量方向指向立体的顶点。对于更高维度的正多面体，我们利用顶点与抽象 Tsirelson 空间中测量的对应关系。我们给出了所有柏拉图贝尔不等式量子违背的一个极为简单的公式，并证明它达到了贝尔不等式的最大可能量子违背，即 Tsirelson 界。为构造具有大量设置的贝尔不等式，高效计算局域界至关重要。一般而言，计算局域界所需时间随测量设置数量呈指数增长。我们找到了一种对任意两方两结果贝尔不等式精确计算局域界的方法，其依赖关系变为多项式，次数为贝尔矩阵的秩。为表明该算法可实际运用，我们计算了基于半截十二胞体的 300-设置柏拉图贝尔不等式的局域界。此外，我们对原始柏拉图贝尔矩阵使用对角修正以提高量子界与局域界之比。借此，我们基于半截四胞体获得了一种四维 60-设置柏拉图贝尔不等式，其量子违背超过 $\sqrt 2$ 比值。