物理驱动的深度 B 样条网络
机器学习
2026-03-17 v3 系统与控制
系统与控制
摘要
物理驱动的机器学习为通过整合观测数据与支配物理规律来求解复杂偏微分方程（PDEs）提供了有前景的框架。然而，在理论保证下学习具有可变参数且初始条件和边界条件（ICBCs）变化的 PDE 仍是开放挑战。本文提出物理驱动的深度 B 样条网络，这是一种新技术，通过神经网络学习 B 样条控制点来近似具有不同参数和 ICBCs 的 PDE 族。该提议的 B 样条表示将学习任务从预测整个域上的解值简化为学习一组紧凑的控制点，通过构造强制严格遵守初始条件和 Dirichlet 边界条件，并可 analytical 计算导数以纳入 PDE 残差损失。虽然现有的近似与泛化理论在该设置下——即通过 B 样条基表示参数化 PDE 族的解——不可适用，但我们通过展示在温和条件下 B 样条网络是此类族的通用逼近器来填补了这一空白。我们也推导了在椭圆型和抛物型 PDE 设置下进行物理驱动学习的泛化误差界，建立了新的理论保证。最后，我们在实验中表明，所提技术在带有不可连续 ICBCs 的动力系统问题中在效率-精度之间取得改进的权衡，并能处理非齐次 ICBCs 和非矩形域。
引用
@article{arxiv.2503.16777,
title = {Physics-Informed Deep B-Spline Networks},
author = {Zhuoyuan Wang and Raffaele Romagnoli and Saviz Mowlavi and Yorie Nakahira},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.16777},
year = {2026}
}