基于高阶连续B样条基函数的物理平滑逼近深度神经网络

本文处理以下重要研究问题。传统上，神经网络采用非线性激活函数与线性算子级联来逼近给定物理现象。它们用激活函数与线性算子的级联“填充空间”，并调整其系数以逼近物理现象。我们主张，更好地方式是使用等几何分析所采用的光滑高阶B样条基函数的线性组合来“填充空间”，并利用神经网络调整线性组合的系数。换言之，评估了使用神经网络逼近B样条基函数系数与直接逼近解的可能性。Maziar Raissi等人于2017年通过引入物理信息神经网络（PINN）提出了用神经网络求解微分方程，其将底层物理定律作为先验信息自然编码。以函数为输入来逼近系数利用了神经网络作为普适函数逼近器这一众所周知的能力。本质上，在PINN方法中，网络逼近给定点处给定场的值。我们提出了一种替代方法，其中物理量被近似为光滑B样条基函数的线性组合，而神经网络逼近B样条的系数。本研究比较了逼近B样条基函数线性组合系数的DNN与直接逼近解的DNN的结果。我们表明，在逼近光滑物理场时，我们的方法更廉价且更准确。