布朗电路时间复杂度中的相变

布朗电路利用热涨落驱动的随机跃迁进行计算。尽管这种涨落驱动计算的能量代价已在随机热力学中得到广泛研究，但其计算复杂度，特别是计算时间如何随电路规模变化，却鲜为人知。本文通过达到完成态的首通时间，对显式设计的布朗电路的计算时间进行了数值研究。对于加法器等算术电路，改变正向跃迁速率会导致平均计算时间随电路规模的标度行为发生急剧变化，从线性变为指数。这种变化可解释为计算时间复杂度中的易-难相变。该相变表明，对于有意义的计算任务，实现高效的多项式时间计算通常需要对应于非零能量输入的有限正向偏置。作为一个反例，我们证明任意逻辑运算都可以简化为一个有效的一维随机过程，其中零偏置极限处于计算高效（容易）的区域内。然而，实现这种一维范式不可避免地会导致电路规模呈指数增长。这些结果揭示了布朗电路中计算时间、电路规模和能量输入之间的基本权衡，并证明了时间复杂度中的相变为刻画涨落驱动计算的代价提供了一个自然的框架。