单指数模型中无正则化 M 估计器存在的相变

本文研究了在比例渐近情形下无正则化 M 估计器存在的相变，其中样本量 $n$ 与特征维度 $p$ 按比例增长，$n/p \to \delta \in (1, \infty)$。我们研究单指数模型中 M 估计器的存在性，其中响应 $y_i$ 依赖于协变量 $x_i \sim N(0, I_p)$ 通过未知指数 ${w} \in \mathbb{R}^p$ 和未知链接函数。推导了决定 M 估计器存在性的临界阈值 $\delta_\infty$ 的显式表达式，将 Cand\'e & Sur (2020) 针对二元 logistic 回归的结果推广到其他单指数模型。此外，我们探讨了当 M 估计器存在时，支配其渐近行为的非线性方程组是否存在解。对于 $\delta > \delta_\infty$，该系统解的存在性在二元 logistic 回归中的全局零假设之外仍基本未被证明。我们通过证明该系统在 $\delta > \delta_\infty$ 时必有解，为需要作为先决条件的比例渐近结果提供了全面的理论基础，即该系统必须存在解。