二部 z-匹配中的相变

我们在二部随机图集合上数值研究了最大 $z$-匹配问题。$z$-匹配问题描述了两类节点（用户与服务器）之间的匹配，其中每个服务器可同时服务最多 $z$ 个用户。通过映射至标准最大基数匹配，且由于后者存在多项式时间精确算法，我们可研究多达 $10^6$ 个节点的大系统尺寸。我们测量了所得最优匹配的容量与能量。首先，我们确认了先前关于二部正则图的分析结果。接着，我们研究了匹配容量的有限尺寸行为，发现其与标准匹配此前相同的标度行为，表明该问题的普适性。最后，针对二部 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图，我们研究了可饱和性随平均度的变化，即网络是否允许尽可能多的客户被服务，亦即以最优方式利用服务器。我们发现了不可饱和相与可饱和相之间的相变。这些相变与精确匹配算法运行时间的剧烈变化一致，也与最小度启发式算法开始失效的临界点一致。