相位混合与宇宙中的 Vlasov 方程

我们考虑描述由 Friedmann--Lema^itre--Robertson--Walker 宇宙时空中慢速膨胀的各向同质各向均匀环面上的 Vlasov 方程。对于膨胀速率为 $t^q$，其中 $0< q<\frac{1}{2}$（排除某些特殊值），我们显示空间密度以 $t^{-6q}$ 的速率衰减，并且在去除空间平均后，密度因相位混合效应而呈现增强的衰减速率。这种增强对 Sobolev 初始化数据为多项式，对实分析初始化数据为超多项式，但亚指数。我们进一步显示，当膨胀速率为边际 $t^{\frac{1}{2}}$ ——描述充满辐射的宇宙的速率 ——时，结果在 Sobolev 初始化数据下产生对数级增强，而在分析初始化数据下产生超对数级增强（实际上，$\exp(-\mu(\log t)^{\epsilon})$ 形式的提升，其中 $\mu,\epsilon>0$）。该证明基于一组交换向量场，以及与之相关的微分算子组合的某些组合性质。向量场是非显式的，但在 $t$ 相对于解的动量支持较大时具有良好性质。 employed to treat non-compactly supported (in particular, non-trivial real analytic) but suitably decaying solutions.