局部 $\mathbb{P}^2$ 的反常滤子、陈滤子与精化 BPS 不变量

我们探索与 $\mathbb{P}^2$ 上一维稳定层模空间上同调相关的三种结构之间的联系：反常滤子、重言类，以及局部 $\mathbb{P}^2$ 的精化 BPS 不变量。我们提出 $P=C$ 猜想，将反常滤子与自由上同调部分的陈滤子等同。这可视为 de Cataldo--Hausel--Migliorini 关于 Hitchin 系统的 $P=W$ 猜想的类似物。我们的猜想与由精化 Pandharipande--Thomas 理论或 Nekrasov 配分函数计算的局部 $\mathbb{P}^2$ 计数不变量相容。它给出了渐近精化 BPS 不变量的猜想乘积公式的上同调提升。我们证明了次数 $\leq 4$ 时的 $P=C$ 猜想。