测度模型范畴的持久阻碍理论及其在数据合并中的应用

紧度量空间上的测度集合构成一个模型范畴（“数据复形”），其态射为边缘化积分。该范畴中的 fibrant 对象表示这样的测度集合：存在一个乘积空间上的测度，其到任意两两因子空间上的边缘化均为给定测度。该范畴的同伦与同调可用于度量在越来越大乘积空间上寻找测度的阻碍。该阻碍理论与基于测度上 Wasserstein 距离的 fibrant filtration 相容。尽管工具抽象，其动机源于数据科学中的普遍问题。数据复形为商业数据库软件中常见的半自动数据对齐工具提供了数学基础。具体而言，该理论表明数据库 JOIN 操作受到真正的拓扑阻碍。这些阻碍可由阻碍上闭链检测，并可通过遍历 filtration 得以解决。因此，任意数据库集合都具有一个持久层级，用以度量将这些数据库 JOIN 的难度。由于其一般化表述，该持久阻碍理论也涵盖了多模态数据融合问题、某些形式的贝叶斯推断以及概率耦合。