Dihedral Cayley图上的Grover走动中的完美态传递

本文研究了在Dihedral群 $D_n$ 上的Cayley图上的Grover走动中的完美态传递(PST)。Grover走动是量子信息处理中广泛研究的离散时间量子走动。若Cayley图 $\operatorname{Cay}(\Gamma,S)$ 中 $S$ 为群的若干共轭类之并，则称为normal；否则称为non-normal。大多数现有研究局限于阿贝尔群上的Cayley图。相反，我们研究了在非阿贝尔群 $D_n$ 上的Cayley图的normal与non-normal情况。通过检查 $n$ 的奇偶性和Cayley图的normal性，我们获得了对 $\operatorname{Cay}(D_n,S)$ 上PST的完全表征。特别是，我们确立了所有可能情形下PST发生的必要且充分条件，并证明当 $n$ 为奇数时，normal Cayley图不存在PST。此外，我们构造了若干normal和non-normal Cayley图 $\operatorname{Cay}(D_n,S)$ 的无限系列，说明了本文结果的应用。我们的方法基于Dihedral群的表示论。