Patterson-Sullivan 测度与相对双曲群的增长

我们证明，对于相对双曲群$G$，存在一系列相对双曲的真商群，其增长率收敛于$G$的增长率。在自然假设下，同样的结论适用于$G$在双曲度量空间上的尖点一致作用的临界指数。作为推论，我们得出无挠几何有限 Kleinian 群的临界指数可被其商群的临界指数任意逼近。这解决了 Dal'bo-Peign\'e-Picaud-Sambusetti 提出的问题。我们的方法基于对相对双曲群 Bowditch 边界上 Patterson-Sullivan 测度的研究。当群发散时，证明了 Patterson-Sullivan 测度的唯一性和遍历性。我们证明了 Sullivan 阴影引理的一个变体，称为部分阴影引理。利用该工具，我们证明了关于球和锥增长函数的若干结果。其中一个核心结果是存在一系列测地树，其增长率充分接近$G$的增长率，且树中的过渡点均匀分布。通过对高次幂双曲元素进行小消去，我们可以将这些树嵌入到适当构造的$G$的商群中。从而证明了前一段所述的结果。