短路径上的不可分割流

在不可分割流路径问题 UFP 中，我们给定一个路径图，包含边容量和一组任务。每个任务由需求、利润和子路径组成。我们的目标是选择一组利润最大的任务子集，使得选定任务在每条边 e 上的总需求不超过该边的容量。Bag-UFP 是 UFP 的推广，其中任务被划分为若干袋子，我们可以最多选择每个袋子中的一个任务。UFP 已知存在 PTAS [Grandoni,M{"o}mke,Wiese'22]，但不存在 EPTAS [Wiese'17]。Bag-UFP 为 APX-hard [Spieksma'99]，当前最佳近似算法为 O(log n / log log n) [Grandoni,Ingala,Uniyal'15]，其中 n 为任务数。本文我们研究上述两个问题如何在参数化问题中边数 m 的情况下，以设计更快的参数化近似算法为目标。我们提出了一种针对 Bag-UFP 的参数化 EPTAS，以及一种针对 UFP 的显著更快的参数化 EPTAS（当 m=O(1) 时为 FPTAS）。我们还证明了 UFP（因此也适用于 BagUFP）不存在参数化 FPTAS，因此我们的結果在质量上是严格紧致的。