非凸约束优化问题的部分包络

本文考虑具有约束集合 $\{x \in \mathcal{X}: c(x) = 0\}$ 的非线性约束优化问题，其中 $\mathcal{X}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的闭凸子集。基于对 $\mathcal{X}$ 上的前向-后向包络框架，我们提出了一种前向-后向半包络（FBSE）方法，用于求解该问题。在所提出的半包络方法中，我们通过特定设计的包络方案消除约束 $x \in \mathcal{X}$，而保留约束 $x \in \mathcal{M} := \{x \in \mathbb{R}^n: c(x) = 0\}$。我们证明了非线性约束优化问题的前向-后向半包络在 $\mathcal{M}$ 的邻域内良好定义且局部 Lipschitz 光滑。进一步地，我们证明该问题及其对应的前向-后向半包络在 $\mathcal{X} \cap \mathcal{M}$ 的邻域内具有相同的一阶静止点。因此，我们提出的前向-后向半包络方法使得可以直接应用到 $\mathcal{M}$ 上的优化方法，同时继承其收敛性质。此外，我们发展了一个用于在 $\mathcal{M}$ 上最小化前向-后向半包络的不精确投影梯度法，并建立了其全局收敛性。初步数值实验表明，我们所提出的方法在实际效率和潜力方面具有优势。