Smarandache 拟群的旁转不变性

每个拟群 $(L,\cdot)$ 都属于一个由 6 个拟群组成的集合，称为旁转（parastrophes），记为 $(L,\pi_i)$，$i\in \{1,2,3,4,5,6\}$。本文证明：$(L,\pi_i)$ 是带有结合性子拟群 $(S,\pi_i)$ 的 Smarandache 拟群（对所有 $i\in \{1,2,3,4,5,6\}$ 成立），当且仅当对于 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中任意四个 $j$ 中的某一个，$(S,\pi_j)$ 是 $(S,\pi_i)$ 或 $(S,\pi_k)$ 的同位素（isotope），其中 $k\in \{1,2,3,4,5,6\}$ 且满足 $i\ne j\ne k$。因此，$(L,\pi_i)$ 是带有结合性子拟群 $(S,\pi_i)$ 的 Smarandache 拟群（对所有 $i\in \{1,2,3,4,5,6\}$ 成立），当且仅当对于 $(S,\pi_i)$ 中任意四个中的某一个，六个 Khalil 条件中的任意一个成立。