有限元问题拟周期解的并行计算：一种基于傅里叶级数展开的打靶法

高维非线性力学系统存在拟周期解，这对于理解动力系统至关重要。这些拟周期解位于由超时间中复杂偏微分方程控制的不变环面上。在此，我们提出了一种基于傅里叶级数展开的打靶法（FSE-Shooting），用于并行计算具有 $d$ 个基频（$d \ge 2$）的拟周期解。我们将相关的 $d$ 维环面表示为在（$d-1$）维环面上初始化的一组轨迹的集合。我们推导出一组适用于这些轨迹中任意一条的常微分方程（ODE）。我们还推导出一组耦合这些轨迹初始状态和终端状态的边界条件，然后通过耦合条件建立一组非线性代数方程。我们使用傅里叶级数展开来参数化（$d-1$）维环面，并使用打靶法迭代与初始环面相关的傅里叶系数，以满足耦合条件。特别地，这些轨迹的终端点通过 Newmark 积分并行计算，其中时间点和傅里叶系数通过交替频时法相互转换。我们设计了一个简单的相位条件来追踪具有先验未知基频的准周期解。此外，FSE-Shooting 的副产品也可直接用于计算 Lyapunov 指数，以评估准周期解的稳定性。三个有限元系统的结果表明了 FSE-Shooting 在高维非线性动力系统中的效率和通用性，包括一个具有 $1872$ 自由度的三维壳结构。