通过叠加信息成本实现纠缠博弈并行重复的指数衰减

在双人博弈中，两名合作但无法通信的玩家 Alice 和 Bob 接收来自某个概率分布的输入。他们各自产生一个输出，如果其输入/输出满足某个谓词，则赢得博弈。博弈 $G$ 的纠缠值 $\omega^*(G)$ 是指若允许 Alice 和 Bob 在接收输入前共享一个纠缠态，他们赢得博弈的最大概率。$G$ 的 $n$ 重并行重复 $G^n$ 由 $n$ 个 $G$ 的实例组成，其中玩家同时接收所有输入并同时产生所有输出。仅当他们在每个 $G$ 实例中都获胜时，才算赢得 $G^n$。本文证明，对于任何满足 $\omega^*(G) = 1 - \varepsilon < 1$ 的博弈 $G$，$\omega^*(G^n)$ 随 $n$ 呈指数下降。首先，对于任何基于均匀分布的博弈 $G$，我们证明 $\omega^*(G^n) = (1 - \varepsilon^2)^{\Omega\left(\frac{n}{\log(|I||O|)} - |\log(\varepsilon)|\right)}$，其中 $|I|$ 和 $|O|$ 分别是输入集和输出集的大小。基于此结果，我们证明对于任何纠缠博弈 $G$，有 $\omega^*(G^n) \le (1 - \varepsilon^2)^{\Omega(\frac{n}{Q\log(|I||O|)} - \frac{|\log(\varepsilon)|}{Q})}$，其中 $p$ 是 $G$ 的输入分布，且 $Q= \frac{|I|^2 \max_{xy} p_{xy}^2 }{\min_{xy} p_{xy} }$。这意味着只要对于一般博弈满足 $\min_{xy} \{p_{xy}\} \neq 0$，并行重复即呈现指数衰减。为了证明这一并行重复结论，我们引入了纠缠博弈的\emph{叠加信息成本}（Superposed Information Cost）概念，该概念灵感来源于通信复杂性中使用的信息成本。