住房分配问题的并行与分布式算法

我们给出住房分配问题的并行与分布式算法。在该问题中，有一组代理和一组房屋。每个代理对房屋的一个子集有严格偏好列表。我们需要找到一种匹配，使某一准则最优化。其中一个准则是帕累托最优。若没有任何代理联盟可通过彼此交换房屋而严格获益，则匹配是帕累托最优的。我们还研究了住房市场问题，它是住房分配问题的一个变体，其中每个代理初始拥有一套房屋。除帕累托最优外，我们也有兴趣求住房市场的核。若没有任何代理联盟可通过脱离其他代理并仅在彼此之间切换房屋而获益，则匹配位于核中。在本工作的第一部分，我们证明计算住房分配的帕累托最优匹配属于{\bf CC}，而计算住房市场的核是{\bf CC}难的。给定一匹配，我们还证明验证其是否位于核中可在{\bf NC}中完成。随后我们给出一算法，表明计算住房分配问题的最大帕累托最优匹配属于{\bf RNC}^2和拟{\bf NC}^2。在本工作的第二部分，我们给出用于求住房市场核的顶交易环算法的分布式版本。为此，我们首先给出两个用于在函数图中查找所有不相交环的算法：一个Las Vegas算法以高概率在$O(\log l)$轮内终止，其中$l$为最长环的长度；以及一个确定性算法在$O(\log^* n \log l)$轮内终止，其中$n$为图中节点数。两个算法均在同步分布式模型中工作，并使用大小为$O(\log n)$的消息。