函数域上的 Paley 图与 Sárközy 定理

Sárközy 定理指出，整数中的稠密集必含两个其差为 $k^{th}$ 幂的元素。继 Croot、Lev 和 Pach 的多项式方法突破之后，Green 对 $\mathbb{F}_{q}[T]$ 证明了该结果的一个强定量版本。本文通过改编 Ruzsa 在 $\mathbb{Z}$ 中类似问题的构造，给出函数域上 Sárközy 定理的一个下界。我们构造一个次数 $<n$ 的多项式集合 $A$，使得 $A$ 不含 $k^{th}$ 幂差且 $|A|=q^{n-n/2k}$。此外，我们证明了关于广义 Paley 图独立数的一些结果，包括 Ruzsa 一个断言的推广，这有助于理解该方法的极限。