模型范畴的上范畴与下范畴

若 M 是一个模型范畴，Z 是 M 中的一个对象，则在 M 中对象于 Z 之上的范畴以及 M 中对象于 Z 之下的范畴上存在模型范畴结构，使得一个映射是余纤维化、纤维化或弱等价，当且仅当其在遗忘函子下在 M 中的像分别是余纤维化、纤维化或弱等价。《模型范畴及其局部化》一书中未加证明地断言：若 M 是余纤维生成、胞腔或恰当的，则 M 中对象于 Z 之上的范畴亦然。本文旨在补全这些断言的证明，并陈述和证明下范畴的类似结果。