整数边长长方体

本文研究用任意数量 $N$ 个相同立方体可以搭建的不同长方体数量 $\mathcal{O}(N)$。该问题等价于求体积为 $N$ 且边长为整数的不同长方体个数。我们得到了计算任意 $N$ 对应 $\mathcal{O}(N)$ 值的迭代方法。利用该方法，当 $N$ 为两个素数幂的乘积时，我们给出了显式公式。本文还研究了二维情形，并给出了用任意数量相同正方形可以搭建的不同矩形数量的一般公式。