具有相依坐标的向量顺序统计量与 Karhunen-Loève 基

设 $X$ 为一个 $n$ 维随机中心化高斯向量，其坐标独立但非同分布，设 $T$ 为 $\mathbb R^n$ 的一个正交变换。我们证明随机向量 $Y=T(X)$ 满足 $$\mathbb E\sum\limits_{j=1}^k j\mbox{-}\min_{i\leq n}{X_{i}}^2 \leq C\mathbb E\sum\limits_{j=1}^k j\mbox{-}\min_{i\leq n}{Y_{i}}^2$$ 对于所有 $k<n$ 成立，其中“$j\mbox{-}\min$”表示对应向量的第 $j$ 小分量，$C>0$ 是一个普适常数。这解决了（至多相差一个乘性常数）S. Mallat 和 O. Zeitouni 关于 Karhunen-Loève 基对非线性信号近似最优性的一个旧问题。作为副产品，我们得到了随机向量（不仅限于高斯向量）顺序统计量的一些关系式，这些关系式具有独立的意义。