Order-3 pi-formulas, Apery-like kernels, and Clausen functoriality for Conservative Matrix Fields

Raz, Shalyt, Leibtag, Kalisch, Weinbaum, Hadad, 和 Kaminer 最近表明，pi 的公式可以由规范多项式递推组织，并通过秩-2 Conservative Matrix Field (CMF) 部分统一。在本文中，我们证明每个在其论文附录 B.6 中显式打印的 order-3 递归都是显式 order-2 内核的提升求和，识别了所有三个内核：两个 pi-内核是 A036917 和 A002895（Domb 数，情况 (alpha)）中断现存的 Apéry-like 序列的显式重新标度，而 Catalán 内核是 Gauss 平方系数序列在 (a,b,c)=(1/2,1,3/2) 处的超几何扰动。我们将这些内核置于统一的 Sym^2 框架中：第一个 pi-内核和 Catalán 内核直接来自 Gauss 平方系数序列，而 Domb 内核通过重新阐述经典 degree-3 Belyi pullback phi(x)=108x^2/(1-4x)^3 以及相关的代数扰动在 CMF 语言中恢复。我们给出 Gauss CMF 的显式平方-仪表矩阵，提出标准的 pullback-扰动在 CMF 术语中的传输，并证明在秩-2 对象上它与 Sym^2 兼容。我们进一步证明了一个逆分类：对于固定的 Sym^2-类型的黎曼方案，一个一参数族的 Fuchsian 算子包含唯一一个 Sym^2(Gauss) 点，其由闭形式条件 lambda_0=2 gamma_1 gamma_2(1-2 alpha) 在辅助参数上定义。最后，对 Belyi-pullback进行 5040 种配置的扫描产生 11 个额外的整数序列形式 [x^n] lambda^n 2F1(a,b;c;phi(x))^2；我们证明了它们的整数性并将它们置于相同的 Sym^2-pullback 框架中。