面向投票与设施选址的多目标同时优化

我们研究经典的设施选址设定：在任意度量空间中给定 n 个客户与 m 个可能的设施位置，希望选择一个位置建设设施。完全相同的设定也出现在空间社会选择中，选民即客户，目标是选择一个候选人或结果，选民到结果的距离表示其在该结果下的代价（例如基于意识形态差异）。与以往多数工作不同，我们不聚焦于单一优化目标（如客户到设施的总距离或最大距离等），而是尝试同时优化若干不同目标。具体而言，我们考虑 l-centrum 目标族，其包含总距离、最大距离及许多其他目标。我们给出了任意这样两个目标（如最大与求和）相比各自最优结果可同时近似程度的紧界。特别地，我们证明对任意这样一对目标，总可选择一结果使两目标同时以 1+√2 的因子内近似，并精确刻画当所优化两目标愈发相似时该因子如何改善。对 q>2 个不同 centrum 目标，我们证明总可在一小常数内同时近似全部 q 个目标，且该常数随 q→∞ 趋于 3。我们的结果表明，当仅优化少数同时目标时，总可形成一个对所有这些目标显著优于 3 近似的结果。