数组字母约简配对的最优化

在 [1] 中，我们引入了一族组合设计，我们称为“字母约简配对的数组”，简称为 ARPAs。这些设计取决于三个整数参数 $q, p \leq q, k\leq p$：$q$ 是系数在数组中取值的符号集 $\{0, 1 ,\ldots, q -1\}$ 的大小；$p$ 是第二个数组配对中允许的最大不同符号数；$k$ 是两个数组配对在其列的任意 $k$ 进制子集上是否相同（至多按行次序）的较大整数。第一个数组必须包含单词 $0\ 1\ \ldots\ q -1$ 的至少一个出现。直观地说，思路是用“尽可能少”的单词来覆盖“尽可能多”的此 $q$ 符号单词。这些设计与“限制性满足问题的可近似性”，即已知 $k$ 阶约束的 $k$ CSP 有关。在此背景下，我们特别关注频率为 $0\ 1\ \ldots\ q -1$ 最大的 ARPAs。我们引入似乎更简单的组合设计族，称为“覆盖配对的数组”(CPAs)。CPA 的数组采用布尔系数，仍需在其列的任意 $k$ 进制子集上相同。目的是“尽可能多”地覆盖单词 $q$ 个 1 的“尽可能少”的 $q$ 长度布尔单词，其权重最多为 $p$。我们证明了在最大化 ARPAs 中 $0\ 1\ \ldots\ q -1$ 单词频率以及 CPA 中 $1\ 1\ \ldots\ 1$ 单词频率时，ARPAs 和 CPAs 等价。我们证明了 [1] 中给出的 ARPAs 在 $p =k$ 情况下的最优性。此外，我们提供了 $k =1$ 和 $k =2$ 情况下的最优 ARPAs。我们强调，这两个组合设计族与 $k$ CSP 的可近似性相关。