通过加边最大化接地拉普拉斯矩阵最小特征值的优化

图 $\calG=(V,E)$(含 $n=|V|$ 个节点与 $m=|E|$ 条边)的接地拉普拉斯矩阵 $\LL_{-S}$ 是其拉普拉斯矩阵 $\LL$ 的一个 $(n-s)\times (n-s)$ 子矩阵,通过从 $\LL$ 中删除对应于 $s=|S| \ll n$ 个接地节点(构成集合 $S\subset V$)的行与列得到。$\LL_{-S}$ 的最小特征值在各种实际场景中起着重要作用,例如刻画领导者–跟随者观点动态的收敛速率,特征值越大表明观点收敛越快。本文研究在所有不存在边构成的候选边集 $Q = (V\times V)\backslash E$ 中添加 $k \ll n$ 条边,以最大化接地拉普拉斯矩阵最小特征值的问题。我们证明该组合优化问题的目标函数是单调但非子模的。为求解该问题,我们首先将候选边集 $Q$ 限制为 $(S\times (V\backslash S))\backslash E$,并证明其与原始问题具有相同最优解,尽管 $Q$ 的规模从 $O(n^2)$ 降至 $O(n)$。随后,我们提出两种贪心近似算法。其一为简单贪心算法,近似比为 $(1-e^{-\alpha\gamma})/\alpha$,时间复杂度为 $O(kn^4)$,其中 $\gamma$ 与 $\alpha$ 分别为子模比与曲率,针对若干特例给出了其界。其二为无近似保证的快速贪心算法,运行时间为 $\tilde{O}(km)$,其中 $\tilde{O}(\cdot)$ 略去 ${\rm poly} (\log n)$ 因子。我们在多种真实网络上进行大量实验,从有效性与效率两方面验证了算法的优越性。