Optimal transfer operators in algebraic two-level methods for nonsymmetric and indefinite problems

考虑对 n 维线性方程组 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 应用代数两层方法，使用细空间预条件器（即“relaxation”或“smoother”）$M$，其中 $M \approx A$，restriction 与 interpolation 分别为 $R$ 与 $P$，代数粗空间算子 ${A_c := R^*AP}$。那么，对给定维数 $n_c < n$，最佳的传递算子 $R$ 与 $P$ 是什么？Brannick 等人 (2018) 证明当 $A$ 与 $M$ 为 Hermitian positive definite (HPD) 时，最优插值使得其射影包含矩阵笔 $(A, M)$ 的 $n_c$ 个最小广义特征向量。最近，在 Ali 等人 (2025) 中，我们将该框架推广到非HPD 情形，考虑 $(A, M)$ 的右（插值）和左（restriction）广义特征向量并定义相应的非对称传递算子 \{R_#,P_#\}。推导了 \{R_#,P_#\} 在谱半径及伪最优性下的紧密收敛界限。注意到 \{R_#,P_#\} 通常是复数型的，这对于实值问题并不实用。本文首先在 \{R_#,P_#\} 定义的粗空间校正在哪些内积中正交， characterize 所有内积。随后在这些范数中建立紧密的两层收敛界限，证明 \{R_#,P_#\} 确实是最优的。作为特例，本理论既恢复又扩展了 Brannick 等人 (2018) 中的HPD 结果。最后，我们展示如何在 $A$ 与 $M$ 为实值但非HPD 时构造最优的实值传递算子。数值实例来自离散化的 advection 与波动方程问题，用于验证和说明该理论。