Banach空间间全纯算子的最优深度学习

算子学习问题出现在许多关键的科学计算领域，其中偏微分方程（PDE）被用于模拟物理系统。在此类场景中，算子映射于Banach空间或Hilbert空间之间。与以往绝大多数仅考虑Hilbert空间的工作不同，本文致力于学习Banach空间之间的算子。我们专注于学习全纯算子——这是一类具有众多应用的重要问题。我们将任意近似编码器和解码器与标准的前馈深度神经网络（DNN）架构（具体而言，是宽度超过深度的恒定宽度架构）相结合，并在标准$\ell^2$损失最小化框架下进行。我们首先确定了一类DNN，使得由此产生的深度学习（DL）过程能够为这类算子实现最优的泛化界。对于标准的全连接架构，我们随后证明存在不可数多个训练问题的最优解，它们能产生等效的最优性能。我们考虑的DNN架构是“问题无关的”，其宽度和深度仅取决于训练数据量$m$，而不依赖于目标算子的正则性假设。接着，我们证明深度学习对于该问题是最优的：没有任何恢复过程能在对数项内超越这些泛化界。最后，我们展示了在包括参数化扩散、Navier-Stokes-Brinkman和Boussinesq PDE等具有挑战性问题上的数值结果，证明了其实用性能。