DOSnet作为一种非黑箱偏微分方程求解器：当深度学习遇上算子分裂
数值分析
2023-08-09 v1 机器学习
数值分析
摘要
深度神经网络(DNNs)近来已成为分析和求解科学与工程应用中复杂微分方程的一种有前景的工具。作为传统数值格式的一种替代，基于学习的求解器利用DNNs的表示能力以自动化方式逼近输入-输出关系。然而，缺乏物理在环往往使得构建同时具备高精度、低计算负担和可解释性的神经网络求解器变得困难。在这项工作中，我们聚焦于一类以具有可分解算子为特征的演化偏微分方程，表明求解这些方程的经典“算子分裂”数值格式可被用于设计神经网络架构。由此产生了一种基于学习的偏微分方程求解器，我们称之为深度算子分裂网络(DOSnet)。这种非黑箱网络设计由支配底层动力学的物理规则和算子构建，包含可学习参数，因此比标准算子分裂格式更灵活。一旦训练完成，它便能快速求解同类型偏微分方程。为验证DOSnet内部的特殊结构，我们以线性偏微分方程作为基准，并给出权重行为的数学解释。此外，为展示我们这一新型AI增强偏微分方程求解器的优势，我们在多种类型的算子可分解微分方程上对其进行训练和验证。我们还将DOSnet应用于非线性薛定谔方程(NLSE)，该方程在现代光纤传输系统的信号处理中有重要应用，实验结果表明我们的模型比数值格式和基线DNNs具有更好的精度和更低的计算复杂度。
引用
@article{arxiv.2212.05571,
title = {DOSnet as a Non-Black-Box PDE Solver: When Deep Learning Meets Operator Splitting},
author = {Yuan Lan and Zhen Li and Jie Sun and Yang Xiang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2212.05571},
year = {2023}
}