使用对称体对欧氏空间的最优平铺

其 $\mathbb{Z}^n$ 平移平铺 $\mathbb{R}^n$ 的对称体 $B$ 的最小表面积是多少？由于任何这样的体必须具有体积 $1$，等周不等式意味着其表面积至少为 $\Omega(\sqrt{n})$。值得注意的是，Kindler 等人证明对于一般的体 $B$ 这是紧的，即存在一个 $\mathbb{R}^n$ 的平铺体，其表面积为 $O(\sqrt{n})$。在理论计算机科学中，平铺问题与并行重复定理（它们是 PCP 中的重要组成部分）的研究密切相关，更具体地与“强版本”并行重复定理是否成立的问题相关。Raz 利用奇圈博弈表明强并行重复一般不成立，随后这些思想被用于构造 $\mathbb{R}^n$ 的非平凡平铺。在本文中，受对称并行重复研究的推动，我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中平铺问题的对称变体。我们证明任何平铺 $\mathbb{R}^n$ 的对称体其表面积至少为 $\Omega(n/\sqrt{\log n})$，并且该界是紧的，即存在一个表面积为 $O(n/\sqrt{\log n})$ 的 $\mathbb{R}^n$ 对称平铺体。我们还给出了 Raz 奇圈博弈的对称并行重复值的匹配界。我们的结果表明，虽然强并行重复一般不成立，但可能存在仍然适用的特殊情形。