色偏Hamilton循环的最优稳定性结果

我们研究具有$r$种颜色的边彩色图中的Hamilton循环，关注颜色偏差（偏离均匀颜色频率的 maximum 偏差）的概念。Balogh、Csaba、Jing和Pluh\'{a}r，以及后来的Freschi、Hyde、Lada和Treglown的普遍化工作，以及Gishboliner、Krivelevich和Michaeli的独立工作，已建立：任何具有最小度数超过$\frac{(r+1)n}{2r}+\frac{m}{2}$的$n$顶点图都包含一个颜色偏差至少为$m$的Hamilton循环，并在最小度数$\frac{(r+1)n}{2r}$中所有Hamilton循环都 perfectly balanced 的图中进行了刻画。我们证明了最优稳定性结果：对于任意正整数$r\ge 2$和$m<2^{-6} r^{2} n,$如果一个$n$顶点图中每个Hamilton循环的颜色偏差小于$m$，且最小度数超过$\frac{n}{2}+6r^{2}m$，则该图必须紧密 resemble Freschi、Hyde、Lada和Treglown的极端构造。度数条件中的主导项$\frac{n}{2}$是最优的，因为它是保证Hamilton性的尖锐阈值。此外，我们证明当$m$较大且$r=2$时，添加误差项$\Theta(m)$也是最佳的，因为更弱的条件$\frac{n}{2}+o(m)$允许存在反例。值得注意的是，结构稳定阈值$\frac{1}{2}$严格低于强制颜色不平衡所需的极端阈值$\frac{1}{2}+\frac{1}{2r}$。我们的证明利用局部配置来推导全局结构，揭示了严格的组合单调性。