Metropolis Hastings 算法瞬态阶段的最优尺度：长期行为

我们考虑在 $\mathbb{R}^n$ 上具有高斯提议且目标概率测度为一维分布的 $n$ 重积的 Random Walk Metropolis 算法。众所周知（见 Roberts 等 (Ann. Appl. Probab. 7 (1997) 110-120)），在 $n\to\infty$ 的极限下，从平衡态出发，并对方差和时间尺度作为维数 $n$ 的函数进行适当缩放，可获得 Markov 链各分量的扩散极限。在 Jourdain 等（《Random Walk Metropolis 算法瞬态阶段的最优缩放：平均场极限》(2012) 预印本）中，我们在初始分布非目标概率测量的情况下推广了这一结果。所得的扩散极限是在 McKean 意义下非线性的随机微分方程的解。在本文中，我们证明了该方程向平衡态的收敛。我们讨论了为了优化提议分布的方差以加速向平衡态收敛的实际对策。我们的分析证实了最初在 Roberts 等 (Ann. Appl. Probab. 7 (1997) 110-120) 中提出的常数接受率策略（接受率在 $1/4$ 到 $1/3$ 之间）的优势。我们还探讨了 Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm 的缩放问题。当从平衡态出发时，Roberts 和 Rosenthal (J. R. Stat. Soc. Ser. B. Stat. Methodol. 60 (1998) 255-268) 获得了方差最优缩放的扩散极限。在瞬态情形下，我们在形式上发现，最优方差在 $n$ 中的缩放方式因某分布矩的符号不同而大相径庭，该分布在平衡态时消失。这表明，很难从此类渐近结果中为 MALA 推导出实用的建议。