针对具有粗糙目标密度的 Metropolis-Hastings 链最优尺度缩放的反例

对于具有乘积形式且足够光滑的目标，已知在 RWM（随机游走 Metropolis）和 MALA（Metropolis 调整的 Langevin 算法）中，提议在 $\mathbb{R}^n$ 中单坐标的方差应分别最优地随维数 $n$ 以 $n^{-1}$ 和 $n^{-\frac{1}{3}}$ 的尺度缩放，且接受率应调节至 $0.234$ 和 $0.574$。我们建立反例以证明，若要使这些缩放速率成立，RWM 所需的光滑性假设为 $\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ 阶、MALA 为 $\mathcal{C}^3(\mathbb{R})$ 阶确实是必要的。这些反例通过利用由 Hurst 指数 $H$ 的分数布朗运动路径生成的粗糙度扰动标准正态密度（对 RWM 在势的层面、对 MALA 在势的二阶导数层面），识别出违背这些准则的边际目标类。对此类目标，有强证据表明 RWM 和 MALA 的提议方差应最优地以 $n^{-\frac{1}{H}}$ 和 $n^{-\frac{1}{2+H}}$ 缩放，并将遵循异常的接受率准则。本文讨论了由该理论得出的有用启发式方法。论文发展了一个能够处理相当一般的 Metropolis-Hastings 算法（可能依赖于随机环境）最优缩放结果的框架。