基于$t$-设计的最优放置交付阵列及其在分层编码缓存中的应用

最初由Maddah-Ali和Niesen（MN）提出的编码缓存方案在非编码放置下实现了最优传输速率 $R$，但要求子包化级别 $F$ 随用户数 $K$ 呈指数增长，其中文件数 $N \geq K$。放置交付阵列（PDA）由Yan等人在文献\cite{YCT}中提出，作为一种设计具有降低子包化级别的编码缓存方案的工具。本文从组合 $t$-设计出发，提出了两类新颖的PDA构造，与现有的基于 $t$-设计的编码缓存方案相比，在给定的低子包化级别、缓存大小和用户数下，实现了改进的传输速率。一个由特定符号 $\star$ 和 $S$ 个非负整数组成的 $(K, F, Z, S)$ PDA 对应于一个子包化级别为 $F$、$K$ 个用户各缓存 $Z$ 个数据包，并以速率 $R=\frac{S}{F}$ 满足所有用户需求的编码缓存方案。对于给定的 $K$、$F$ 和 $Z$，Cheng等人在文献\cite{MJXQ}中以及Wei在文献\cite{Wei}中给出了使得 $(K, F, Z, S)$ PDA 存在的 $S$ 的下界。我们提出的第一类PDA达到了 $S$ 的下界。第二类PDA在某些情况下也达到了下界。基于这两类PDA，我们随后构造了由Kong等人在文献\cite{KYWM}中提出的分层放置交付阵列（HPDA），该阵列刻画了一个分层两层编码缓存系统。这些构造给出了低子包化级别的方案。