差分信息下的最优线性插值：用于完美流动预测的应用
数值分析
2026-04-21 v1 数值分析
摘要
满足部分微分方程(PDE)的函数近似是模拟物理流动及其他物理问题中至关重要的任务。最近的物理信息神经机器学习方法作为数据驱动的偏微分方程数值模型的补充，展现出快速响应能力，使我们能够利用过去的观察数据。然而，其效率和收敛性依赖于大规模训练数据的可用性。对于稀疏观测，高斯过程回归或Kriging方法因其提供原则性估计和不确定性量化而成为强大的插值模型。已有多种方法尝试通过人工观测、点评估或核函数设计来对高斯过程进行PDE约束。这些方法在高维情况下的可扩展性较差且通用性有限。本研究旨在探讨在有限个点评估处存在线性PDE信息时的Kriging预测器扩展。提出两种方法：1）基于点评估的共同Kriging，采用物理场的 primary 观测与辅助微分观测；2）通过拉格朗日配分方案，强制在预测点处满足线性PDE约束的受限Kriging优化问题。数值实验包括常微分方程、二维调和PDE以及完美流动绕圆柱的应用。本工作揭示了拉格朗日乘子方法计算效率与观测插值严格性之间的权衡。
引用
@article{arxiv.2604.17922,
title = {Optimal Linear Interpolation under Differential Information: application to the prediction of perfect flows},
author = {Soumyodeep Mukhopadhyay and Didier Rullière and Rodolphe Le Riche and David Gaudrie and Xavier Bay and Laurent Genest and David Gaudrie},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.17922},
year = {2026}
}