赋范空间中非扩张不动点迭代的最优误差界

本文研究了用于计算非扩张映射不动点的一般 Mann 迭代的最优误差界和收敛速率。我们通过最小化从一组嵌套的最优传输问题导出的最坏情况界 $\|x^n-Tx^n\|\le R_n$，寻找在 $n$ 步后达到最小不动点残差的迭代。我们证明该界是紧的，因此最小化 $R_n$ 可得到最优迭代。受数值结果启发，我们确定了达到速率 $R_n=O(1/n)$ 的迭代，并证明这也是可能的最佳速率。特别地，我们证明经典的 Halpern 迭代在几种替代步长下均能达到此最优速率，并通过解析方法确定了在每一步 $n$ 达到最小最坏情况残差的最优步长，其紧界为 $R_n\approx\frac{4}{n+4}$。我们还确定了仿射非扩张映射的最优 Halpern 步长，对此我们精确得到 $R_n=\frac{1}{n+1}$。最后，我们证明经典 Krasnosel'ski\u{\i}-Mann 迭代的最佳速率为 $\Omega(1/\sqrt{n})$，并给出数值证据表明即使是扩展变体也无法达到更快的速率。